船舶横摇运动的非线性振动与混沌

欧阳茹荃　朱继懋

　　摘　要　本文针对船舶非线性横摇运动模型，以波浪尺度为变参数，运用平均化方法和范德坡变换，确定系统的振动解随参数变化的定性情况；然后通过数值积分和胞映射相结合的方法，确定系统的多种形式的振动解。可以看到胞映射法能灵活地处理各种不同形式的吸引子，如周期解，各阶亚谐解乃至混沌吸引子并能方便快速地求解。横摇运动的大量非线性现象，如吸引子共存，对称性破缺，倍周期分岔等现象都被观察到。文中还给出了由一系列倍周期分岔导致的混沌运动。
　　关键词　船舶横摇，分岔，混沌胞映射法
　　分类号　O353.2

Nonlinear Oscillations and Chaos of Ship Rolling Motion

Ou Yang Ru-quan　　Zhu Ji-mao
(Shanghai Jiaotong University, Shanghai 200030)

　　Abstract　The quality of oscillation dynamics changing with the wave amplitude is analyzed through the method and the van der Pol transformation. Moreover, the direct integration method and the cell-maping method are combined to obtain the various oscillation solutions. It is noticed that the cell-maping method shows flexibility in dealing with all kinds of periodic solutions, Many nonlinear characteristic of ship rolling,such as co-existence of multiple attractors, symmetry breaking, period doubling and so on, has been observed. The chaos caused by a sequences of period doubing bifurcation is emphasized.
　　Key words　ship rolling, period doubling bifurcation,chaos, cell-map method.

1　前言

　　船舶横摇运动有着复杂的非线性现象，主要是由恢复力矩和阻尼引起的。建立横摇运动的非线性动力学模型，并且利用分岔和混沌理论等方法来研究横摇运动，已经取得了很大的进展。Falzarano 和 Shaw 等人(1992) 利用 Melnikov 方法研究了船舶横摇运动的同宿分岔和异宿分岔。Lee (1992) 在已知系统的吸引子的条件下，尝试采用胞映射法求升沉-横摇耦合系统的吸引域，但由于计算量的限制，文中的研究区间很小。Mulk 和 Falzarano (1994) 使用路径跟踪技术，得到了非线性横摇运动的分岔集，求出了系统多种形式的振动解以及由周期不断倍化而产生的混沌吸引子。
　　本文针对单自由度船舶横摇运动模型，以波浪尺度为变参数，通过平均化方法和范德坡变换，确定系统的振动解随参数变化的定性情况；然后运用数值积分和胞映射分分析相结合的方法，寻求系统的多种形式的振动解。从计算结果我们将看到单自由度横摇运动中大量非线性现象，如吸引子共存，对称性破缺，倍周期分岔乃至混沌运动等都被观察到，这些现象的发生与波浪的参数有着紧密的联系。

2　运动方程和平均化处理

　　本文采用以下非线性横摇运动方程

　　　　　　　　　　（1）

其中：阻尼项　D(Φ,)=μ₁+μ₃³；
回复项　K（Φ）＝α₁Φ＋α₃Φ³＋α₅Φ⁵；
惯性项　M(θ)＝fcosθ。
　　这里 μ₁，μ₃ 分别为线性和非线性阻尼系数;α₁, α₃, α₅ 分别为线性和非线性回复力系数。f 与最大波陡 s_m 和遭遇波浪频率 ω 有关，f=f₀^．s_mω²；θ＝ωt。
　　为了将运动方程(1)表达成状态方程的形式，令 φ ₁＝Φ，φ₂＝，我们得到

　　　　　　　　　（2）

　　我们的目标是研究在周期外力激励下系统 (2) 的振动解及其稳定性。系统 (2) 是一个周期系统，其周期等同于外力的周期。对这样的系统进行定性分析时，通常采用平均化处理。平均化后，所得系统的双曲固定点对应于原系统具有外力周期的周期闭轨。若进一步对所得系统作 m 阶范德坡变换，则新系统的固定点对应于平均化系统庞加莱映射的 m 周期点，当 m=1 时描述的是系统 (2) 的主共振现象，当 m＞1 时描述系统的亚谐响应。
　　范德坡变换是周期为 2mπ/ω 的周期变换，同时它又是可逆变换。将范德坡变换应用于 (2)，并对所得到的系统进行平均化处理，整理后得到

　（3）

这里令

　　式中 δ_m,1 为 δ-函数，它满足 δ_m,1 =1(m=1时) 和 δ_m,1=0(m≠1时)。另外有 D_s 和 D_c 分别为对阻尼项进行同样处理的表达式，由于在文中我们将它视为摄动项，所以其具体形式可以不必计算。
　　根据式(3)的形式特点，采用极坐标 J=x²+y², Q=actan(y/x) 对(3)式进行简化，并写成扰动 Hamilton 系统的形式

　　　　　　　　　　（4）

　　其中，

　　这里记。我们将 (4) 式右边的第一项视为主要项，第二项作为摄动项来处理，当忽略摄动项时系统 (4) 成为 Hamilton 系统，其 Hamilton 能量为

　　　　　　（5）

　　前面我们提到过，经过平均化和 m 阶范德坡变换，则新系统的奇点对应于原系统的m 周期点。为了研究这一 Hamilton 系统的奇点，我们令 F₁(J,Q)=F₂(J,Q)=0，即

　　　　　　（6）

　　如果α′₃，Ω 和 m 的取值使上式存在着满足 J₀＞0 的解，即为 Hamilton 系统的奇点。此时认为扰动 Hamilton 系统 (4) 也具有奇点，这说明原系统 (2) 具有振动解。进一步地，该 Hamilton 系统奇点的个数决定了原系统 (2) 的主共振响应 (m=1) 和亚谐响应 (m＞1) 的数目。若α′₃,Ω 和 m 的取值上式不存在满足 J₀＞0 的解，则系统 (2) 不存在 m 阶亚谐解。我们将在数值计算部分看到上述这两种情况。
　　通过上面的分析过程，我们可以获得关于系统振动解 (包括简谐解和亚谐解) 的存在条件和数目的信息，从定性的角度取得了一些认识，还需要进一步求得其时域响应。

3　胞映射分析法

　　胞映射的概念是针对点映射提出的。它的出发点是，由于存在着状态变量的物理测量和数值计算精度的极限，两个状态变量在其差值小于这一极限时是无法区分的，并且在实际应用中可以认为是相同的。其效果就是当我们在处理单个状态变量时，实际上是在处理一组状态变量。现在我们将一精度极限人为地扩大，考虑将 N 维向量 X 中的每个元素 x_i，视为一定半径的邻域内所有状态变量的集合，包含无数个点，称为胞；将 N 维连续的状态空间视为大量离散 N 维胞的集合。在这里，每一个胞是系统状态空间中不可分的实体，相应的状态空间称为胞状态空间。这样，N 维状态空间中的自治点映射 F 成为对应的胞与胞之间的映射 C。这一过程可以用图表示。

图1　简单胞映射法

　　图1所示的是简单胞映射法。为了提高胞映射法的精度，减少计算量，近年又提出了插值胞映射 (White 和 Tongue，1995) 和庞加莱胞映射 (Levitas et al, 1994) 等方法，有兴趣的请参阅有关的文献。
　　采用胞映射法求系统的吸引子，需要针对各种吸引子的特点，定义相应的识别方法。具有周期激励的非线性系统，在达到混沌状态以前，其稳定解一般有以下几种情况：
　　T 周期解。对应胞映射系统中的周期胞，其周期与激励周期是一致的。它同样满足条件Z^*＝C（Z^*）；
　　k-T 周期解。对应胞映射系统的周期胞轨道，其周期为激励周期的k倍。记若 C^m 为连续作 m 次胞映射，k个不同的胞 Z^*(j), j＝1, 2, …，k 满足

Z^*（m+1）＝C^m（Z^*（1）），m＝1,2,…，k-1

Z^*（1）＝C^k（Z^*（1））

则称这k个胞组成一个周期解，记为 P-k 解，每一个胞 Z^*（j）是 k 周期的周期胞，记为 P-k 胞。
　　环面吸引子。在三维以上的系统中，可能出现环面吸引子。它对应胞映射系统的封闭的周期胞轨道。它除了满足 k-T 周期解应满足的条件外，还具有封闭性。
　　通过胞映射的思想，系统的简谐解、亚谐解和环面吸引子乃至混沌吸引子都具有统一的识别方法。例如，原系统的简谐解对应于 P-1 胞；系统的 k 阶亚谐解形成 P-k 胞；环面吸引子在胞映射的作用下形成由多个胞邻接而成的封闭曲线，它也是通过 P-k 胞的形式被识别的。
　　本文将该方法与数值积分相结合，用于直接寻找和确定系统在不同参数值时的各个振动解和其它吸引子等，观察分岔现象，并与平均化处理的定性结果相比较。

4　数值分析及结果

　　文中以时间庞加莱映射为点映射，由于系统方程 (2) 的激励为周期性的，对所得的时间历程以激励周期为时间间隔进行采样即可得到庞加莱映射，进而构造相应的胞映射。
　　为了深入研究横摇系统的复杂运动行为，验证胞映射法用于求解系统的稳定状态响应的可行性和准确性，我们采用胞映射法对方程组 (2) 进行数值分析，并与第 3 部分的定性结果相比较，检查其一致性。本文计算时参数的取值如下

α₁＝ω²₀，α₃＝-1.402ω²₀，α₅＝0.271ω²₀，f₀＝1.25, μ₁＝0.35，μ₂＝0.0222

其中 ω₀ 为船舶自然横摇频率。将波浪尺度 s_m 和 ω 作为调节参数。由于激励为周期性的，对所得的时间历程以激励周期为时间间隔进行采样即可得庞加菜点 (φ_1p , φ_2p )，从而形成代表时间历程响应的庞加莱映射。这一过程采用标准的数值积分方法，即四阶龙格库塔方法来求解式 (2) 以获得相点在一个外力周期内的历程，时间步取为 T/100，T 为外力周期。积分区间为 φ₁ × φ₂ =［-1.0, 1.0］×［-2, 2］，网格划分为200×200。
　　在这一部分我们归纳一下由数值模拟船舶横摇运动所得的结果。我们用系统的振动解在相平面 (φ₁,φ₂) 上的投影来对它们进行描述。在参数的某些取值时，会出现多个 P-k 吸引子共存。图2 中我们给出一个典型有吸引子共存的情形，分别为两个 P-1 简谐响应，一个 P-2 亚谐响应和一个 P-3 亚谐响应。此时系统的横摇运动具有多种形式。从不同的初始点出发可能导致完全不同的运动方式。图3 是一对相伴的不对称 P-1 吸引子，根据前人的研究，倍周期分岔的发生往往与对称性破缺有着联系，可以认为对称性破缺是系统产生倍周期分岔的一种先兆。这时，系统参数 s_m 和 ω 的变化，就可能导致发生周期倍化。图4 给出了相应的周期倍化后的 P-2 吸引子，图中着重标出的点为庞加莱点。倍周期分岔一旦发生，随着参数的进一步变化，继续产生倍周期分岔的可能性极大。正如所预料的，这一对 P-2 振动解又一次发生周期倍化，形成一对 P-4 振动解，如图5所示。

图2　吸引子共存(s_m=0.24,ω=0.62ω₀)

(s_m=0.14,ω=0.5ω₀)
图3　一对相伴的不对称p-1吸引子，预示有倍周期分岔发生

(s_m=0.24,ω=0.46ω₀)
图4　倍周期分岔发生，有一对相伴的不对称p-2吸引子

(s_m=0.4,ω=0.42ω₀)
　　图5　倍周期分岔继续发生，有一对相伴的不对称p-4吸引子

　　若 s_m 和 ω 继续变化，系统将发生一系列的倍周期分岔，产生极为复杂的运动形式。我们知道，倍周期分岔是导致混沌运动的重要途径之一。图4-5 所代表的这一系列 P-k 解不断发生倍周期分岔，并且其振动尺度逐渐增大，最终形成一个如图7 所示的混沌吸引子，为方便观察，这里只绘出了 30 个外力周期的相轨图。该混沌吸引子与标准 Duffing 方程由倍周期分岔产生的混沌吸引子极为相似，因为系统 (1) 也是 Duffing 型的。容易分辨出该混沌吸引子由左右两个振荡部分 (不妨称之为两个“叶”) 形成，相点在这两叶之间随机地往复跳跃，在每一叶环绕的次数是不确定的。图2-6 是由低频的波浪所激励的船舶非线性运动，此时波浪频率接近于船舶自然横摇频率的 1/2 倍。

(s_m=0.4,ω=0.39ω₀)
图6　倍周期分岔导致混沌吸引子

(s_m=0.24,ω=2.45ω₀，2.35ω₀和2.3ω₀)
图7　吸引子共存，对称性破缺和混沌吸引子

　　当波浪频率较高时，同样也可以激发船舶横摇运动产生多种振动现象。图 7 给出了由高频的波浪所引起的几种典型现象，如吸引子共存，对称性破缺，以及混沌运动。我们还看到，由高频波浪引起的振动现象其尺度明显高于由低频波浪所引起的振动。
　　通过本文的分析和计算工作，我们得到以下结论：
　　采用平均化方法把求解周期激励系统的振动解转化为求解相应的 Hamilton 系统的奇点，可以得到系统的一些有价值的定性结果。它在原理上与谐波平衡法相一致，但比谐波平衡法的工作量小，可以一次得到系统简谐解和各阶亚谐解随参数变化的关系式。要注意的是合理地选取摄动项，以便于构造 Hamilton 能量函数，和在忽略摄动项后，不会对系统的定性特性产生影响。
　　胞映射法能灵活地处理和识别各种吸引子。采用胞映射的思想，系统的平衡点、简谐解、亚谐解和环面吸引子乃至混沌吸引子都具有统一的识别方法。
　　船舶横摇运动形式与波浪尺度密切相关，波浪尺度的变化会引起多种分岔现象发生。横摇运动中存在着大量的非线性现象，如稳定性丧失，对称性破缺，吸引子共存，周期倍化等。我们还看到，倍周期分岔是导致船舶混沌运动的途径之一。

作者简介：欧阳茹荃，女，1972年5月生，博士。
　　　　　　朱继懋，男，1937年2月生，教授，博士生导师。
作者单位：欧阳茹荃　朱继懋(上海交通大学船舶与海洋工程学院，上海200030)

参考文献

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8　T White and B H Tongue. Application of Interpolated Cell Mapping to an Analysis of the Lorenz Equations, J. of Sound and Vibr., 1995,188(2):209-226.